베르누이 효용이론

베르누이 효용이론

 

만일당신에게 백만원이 있고, 동전던지기와 같이 정확하게 50:50의 확률을 가진 공정한 게임이 있다면, 당신은 한번의 게임에 오십만원을 걸고 그 게임에 기꺼이 참여하겠는가? 말하자면 게임 후 150만원을 갖게 되거나 50만원을 갖는 것으로 끝나는 운에 맡기는 승부인 셈이다.

 

이러한 50:50의 양자택일 게임에서 게임 후 얻게 될 수학적인 기대값은 (150+50)/2로 정확하게 100만원이다. 이는 각자가 게임을 시작하기 전에 가졌던 금액으로, 다시 말해 각자의 기대값은 게임을 하지 않았을 때와 같다.

 

‘부의 증가로 얻어지는 만족은 이전에 소유했던 재화의 양에 반비례 관계를 갖는다’는 베르누이의 효용이론은 이러한 대등한 게임이 왜 매력없는 제안인지를 설명하는 ‘불균형’에 대해 밝혀준다. 즉, 패자가 잃은 50만원은 승자가 얻은 50만원보다 더 큰 효용을 지니기 때문에 승자의 기쁨보다 패자의 고통이 더 크다는 것이다.

 

베르누이는 다음과 같은 예를 제시했다. ‘벽돌더미가 당신의 부라고 생각해보자. 벽돌더미는 위로 올라갈수록 벽돌의 크기가 조금씩 작아진다. 당신이 더미에서 잃어버린 벽돌은 추가로 쌓아야 할 벽돌보다 더 크다.’ 그렇기 때문에 수학적인 의미에서 ‘제로섬 게임’은 효용이라는 가치가 부여될 때 항상 ‘패자의 게임’이 될 수밖에 없으며, 양자를 위한 가장 올바는 결정은 이러한 게임 자체를 하지 않는 것이다. 베르누이는 아무리 공정한 게임을 하더라도 효용의 손실을 보게 마련이라는 것을 도박꾼에게 경고하기 위해 자신의 사례를 들었다. 그 우울한 결과는 다음과 같다.

 

‘자연은 도박을 피하라고 경고한다. 수학적으로 공정한 도박에 돈을 거는 사람은 누구나 자기 재산의 아무리 작은 부분을 걸더라도 비이성적으로 행동한다. 게임에 거는 돈이 커질수록 그의 경솔함 또한 커지게 마련이다.’

 

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RISK, 피터 L 번스타인